Bruchrechnen: Brüche addieren, subtrahieren, multiplizieren und dividieren

Die wichtigsten Regeln im Überblick

Probier es selbst aus

Mit unserem Bruchrechner bekommst du sofort Ergebnisse samt Rechenweg:

Brüche addieren Schritt für Schritt

Gleicher Nenner (der einfache Fall)

Haben beide Brüche denselben Nenner, addierst du nur die Zähler:

3/8 + 2/8 = 5/8

Der Nenner bleibt unverändert.

Verschiedene Nenner

Hier kommen die meisten ins Stolpern. Du brauchst zuerst einen gemeinsamen Nenner, den Hauptnenner.

Beispiel: 1/3 + 1/4

Schritt 1: Den kleinsten gemeinsamen Nenner finden (kleinstes gemeinsames Vielfaches, kgV)

• Vielfache von 3: 3, 6, 9, 12, 15 ...
• Vielfache von 4: 4, 8, 12, 16 ...
• Hauptnenner = 12

Schritt 2: Beide Brüche erweitern

• 1/3 = 4/12 (Zähler und Nenner mit 4 multiplizieren)
• 1/4 = 3/12 (Zähler und Nenner mit 3 multiplizieren)

Schritt 3: Die Zähler addieren

• 4/12 + 3/12 = 7/12

Schritt 4: Wenn möglich kürzen

• 7/12 ist schon gekürzt (der ggT von 7 und 12 ist 1)

Abkürzung: Über Kreuz multiplizieren

Für zwei Brüche a/b + c/d gilt die Formel:

(a × d + b × c) / (b × d)

Beispiel: 2/5 + 3/7

• Zähler: (2 × 7) + (5 × 3) = 14 + 15 = 29
• Nenner: 5 × 7 = 35
• Ergebnis: 29/35

Das funktioniert immer, das Ergebnis muss aber manchmal noch gekürzt werden.

Brüche subtrahieren

Gleiches Vorgehen wie beim Addieren, nur wird subtrahiert:

Beispiel: 5/6 − 1/4

1. Hauptnenner von 6 und 4 = 12
2. 5/6 = 10/12 und 1/4 = 3/12
3. 10/12 − 3/12 = 7/12

Brüche multiplizieren

Die Multiplikation ist die einfachste Bruchrechenart. Du brauchst keinen gemeinsamen Nenner.

Rechne einfach gerade durch:

• Zähler mal Zähler
• Nenner mal Nenner

Beispiel: 2/3 × 4/5

• 2 × 4 = 8
• 3 × 5 = 15
• Ergebnis: 8/15

Profi-Tipp: Kürze vor dem Multiplizieren über Kreuz, dann bleiben die Zahlen klein.

Beispiel: 3/8 × 4/9

• 3 und 9 kürzen (beide durch 3 teilen): 1/8 × 4/3
• 8 und 4 kürzen (beide durch 4 teilen): 1/2 × 1/3
• Ergebnis: 1/6

Brüche dividieren

Merke dir: Mit dem Kehrwert multiplizieren.

1. Den ersten Bruch unverändert lassen
2. Das Geteilt-Zeichen durch ein Mal-Zeichen ersetzen
3. Den zweiten Bruch umdrehen (Kehrwert bilden)

Beispiel: 3/4 ÷ 2/5

1. Unverändert: 3/4
2. Aus ÷ wird ×
3. Kehrwert von 2/5 → 5/2
4. Multiplizieren: 3/4 × 5/2 = 15/8 = 1 7/8

Gemischte Zahlen

Eine gemischte Zahl besteht aus einer ganzen Zahl und einem Bruch, zum Beispiel 2 3/4.

Gemischte Zahl in einen unechten Bruch umwandeln

Formel: (ganze Zahl × Nenner + Zähler) / Nenner

Beispiel: 2 3/4

• (2 × 4 + 3) / 4 = 11/4

Gemischte Zahlen addieren

Beispiel: 1 1/3 + 2 1/4

1. Umwandeln: 1 1/3 = 4/3 und 2 1/4 = 9/4
2. Hauptnenner: 12
3. Erweitern: 16/12 + 27/12 = 43/12
4. Zurückwandeln: 43 ÷ 12 = 3 Rest 7 → 3 7/12

Brüche kürzen

Bestimme den größten gemeinsamen Teiler (ggT) von Zähler und Nenner und teile beide durch ihn.

Beispiel: 24/36

• Teiler von 24: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24
• Teiler von 36: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36
• ggT = 12
• 24/36 = (24 ÷ 12) / (36 ÷ 12) = 2/3

Brüche umrechnen

Bruch in Dezimalzahl

Teile den Zähler durch den Nenner:

• 3/4 = 3 ÷ 4 = 0,75
• 1/3 = 1 ÷ 3 = 0,333...

Bruch in Prozent

Teilen, dann mit 100 multiplizieren:

• 3/4 = 0,75 × 100 = 75 %
• 2/5 = 0,4 × 100 = 40 %

Sitzt die Umrechnung, ist der nächste Schritt die prozentuale Veränderung. Formel und typische Stolperfallen findest du in Prozentuale Zunahme und Abnahme berechnen.

Häufige Entsprechungen: Bruch, Dezimalzahl, Prozent

Das Wichtigste in Kürze

• Addition und Subtraktion brauchen einen gemeinsamen Nenner, Multiplikation und Division nicht
• Beim Multiplizieren rechnest du Zähler mal Zähler und Nenner mal Nenner und kürzt das Ergebnis
• Beim Dividieren multiplizierst du mit dem Kehrwert des zweiten Bruchs
• Kürze dein Ergebnis immer mit dem ggT
• Wandle gemischte Zahlen vor dem Rechnen in unechte Brüche um